毕达哥拉斯定理证明:早在毕达哥拉斯诞生之前就已经众所周知

来源：互联网　2023-05-29 14:46:27

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毕达哥拉斯定理的证明(毕达哥拉斯定理证明方法)

(相关资料图)

有一个数学定理是每个人在学校都应该学的。这个定理在西方一般被称为勾股定理，而在中国，我们习惯称之为勾股定理。因此，在本文中，我们有时称勾股定理，有时称勾股定理。

定理一般描述为:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两个直角边的长度分别为A和B，斜边的长度为C，那么用数学语言可以表示为:A+B = C。

有趣的是，虽然毕达哥拉斯和他的学派发现了毕达哥拉斯定理，但早在毕达哥拉斯诞生之前就已经众所周知了。

在哥伦比亚大学的图书馆里，还有一张名为普林顿322的桌子。这块表是从市场上购买的泥板文件，它是由一个叫普林顿的人收集后命名的。“322”是普林顿的收藏号，但其原始来源不明。Plimpton 322其实是一张桌子，上面记录的文字属于古巴比伦语，可以估计是公元前1600年以前。它包含4列和15行数字。经过研究，一般认为这张表显示了一些毕达哥拉斯三元数组的推导过程。毕达哥拉斯三元数组由一个三边都是整数的直角三角形的三条边组成。比如，(3，4，5)和(5，12，13)都构成毕达哥拉斯三元数组，因为3+4 = 5，5+12 = 13。普林尼322的存在说明古巴比伦人在1000多年前就知道毕达哥拉斯定理。

被称为“普林尼322”的巴比伦手表。是自古以来研究最多的数学资料。人们认为它是毕达哥拉斯三元数组的列表，是在毕达哥拉斯诞生前1000年 *** 的。

古希腊几何学家欧几里德(约公元前300年)认为这个定理是毕达哥拉斯在编《几何原本》时首先发现的，所以他把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，一直流传至今。

勾股定理的名称来自中国最早的数学和天文学著作《周吉微积分》。《周快》,原名《周快》,是中国最古老的天算经。因为书中包含了数学的内容，在唐代被定为国子监十大数学必读经典之一。作者不详。据考证，大约是西汉时期。书的开头，以周公与商高对话的形式，给出了勾股定理的一个特例:“故折矩即钩宽三，股定四，径小五。”在中国古代，弯曲成直角的手臂上半部称为“钩”，下半部称为“大腿”。商是指当直角三角形的两条右边分别为3(短边)和4(长边)时，直径角(即弦)为5。以后人们会简单地把这个事实称为“勾三股四弦五弦”。

后来，周公的后人陈子把商高“勾三股四弦五弦”的结论3+4 = 5引申出来，说了下面这句非常重要的、具有历史意义的话:“若向天求恶，则以太阳为钩，以天之高为股，以钩取每股，以方子为除。”这种说法也出自《周经》卷。用现在的话来说就是“弦=钩+股”。这实际上已经把勾股定理的应用扩展到了任何直角三角形。

因为勾股定理的内容最早发现于商高的文字中，所以人们把这个定理称为“商高定理”。

商高是公元前11世纪西周时期的数学家，而毕达哥拉斯是公元前5世纪的古希腊数学家，比商高晚500多年，所以有人认为中国比西方人早500年发现毕达哥拉斯定理并以此为荣。但如果把这个定理最早的发现权归于公元前1600年的巴比伦人，那么到了晚上就要花我们500年左右的时间了。这样，就有些盲目的骄傲了。事实上，中国古代数学的辉煌成就早就得到全世界数学家的认可，也不一定要之一个放弃。最近看一些外国人写的书，可以发现他们对中国古代数学有很深的研究，就是更好的证明。

先说这个定理的证明。

虽然毕达哥拉斯的定理早就被毕达哥拉斯的同时代人和在它之前的人所熟知，但比毕达哥拉斯晚了约200年的欧几里德却是之一个给出这个定理的证明过程。欧几里德在其代表作《几何原本》中给出了毕达哥拉斯定理的证明，其证明极其巧妙。这个命题位于之一卷第47号命题，所以一般称为命题I.47。

【命题ⅰ. 47】在直角三角形中，斜边上的平方面积等于两条右边的平方面积之和。

值得注意的是，欧几里德的命题不是关于代数方程A+B = C，而是关于一种几何现象，实际上等价于代数形式。为了证明以AC和BC为边的两个小正方形的面积之和等于以斜边AB为边的一个大正方形的面积(如下图)。他采用了一种非常奇妙的方法，从一个直角的顶点开始，使线段CL平行于一个大正方形的边，把大正方形分成两个长方形。现在欧几里德只需要证明一个显著的事实:左矩形ADLK的面积等于以AC为边的正方形(黄色部分)的面积；同样，右矩形BELK的面积等于以BC为边的正方形(红色部分)的面积。

【证明】若过c点为CL//AD，过k点AB，过l点DE，连接CD和BF，然后是CL⊥DE，还有CL⊥AB.

在△ACD和△AFB，

AC=AF，AD=AB，∠CAD=∠BAD+∠BAC=∠CAF+∠BAC=∠FAB，

所以△ACD≔△AFB，这样△ACD和△AFB的面积相等。

接下来，由于△ACD与矩形ADLK有一条公共边AD，并且位于相同的两条平行线AD和CL之间，所以矩形ADLK的面积等于△ACD的面积的两倍。同样，因为△AFB与正方形ACGF有一条共同的边AF，并且位于同样两条平行线AF和BG之间，所以正方形ACGF的面积等于△AFB面积的两倍。

因此正方形ACGF的面积等于矩形ADLK的面积。

同理，可以证明正方形BCHI的面积与长方形BELK的面积相等。

在这一点上，毕达哥拉斯定理被证明是因为:

s(方形床)

=S(矩形ADLK)+S(矩形BELK)

=S(平方ACGF)+S(平方BCHI)

证书。